Exemple de calcul avec une fonction négative

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=3x-2\). On cherche à calculer \(\displaystyle\int_{-4}^0f(t)\ \text dt\). 
Premièrement, on a : 
\(\begin{align*}&-4\leqslant x\leqslant0\\\Leftrightarrow &-12\leqslant 3x\leqslant0\\\Leftrightarrow &-14\leqslant 3x-2\leqslant-2\\\Leftrightarrow &-14\leqslant f(x)\leqslant-2\end{align*}\)
Ainsi, \(f\) est bien négative sur \(\left[-4~;~0\right]\). 

Graphiquement, on cherche à calculer l'aire de la surface bleue. 

L'aire recherchée est l'aire d'un trapèze :

 \(\mathcal A_{\text{Surface bleue}}=\dfrac{(|f(-4)|+|f(0)|)\times 4}{2}=\dfrac{(2+14)\times 4}{2}=8\times 4=32\). 

Finalement, \(\displaystyle\int_{-4}^0f(t)\ \text dt=-32\) u.a.